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Les probabilités

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Probabilités

Patrice POINCLOUX, du Comité de l'AIN , a édité un livre sur les PROBABILITES des événements pour le Jeu de Tarot à Quatre Joueurs. Quelques exemples des multiples résultats publiés dans son ouvrage.

Défenseur le plus pauvre

Supposons que "m" cartes d'une couleur, ou "m" atouts, soient répartis en défense. Le défenseur qui possède le moins de ces cartes est qualifié de "plus pauvre". Le nombre "p" de cartes détenues par ce défenseur parmi les "m" suit les probabilités suivantes.

Défenseur le plus pauvreNombre de cartes en défense = m
2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre de cartes du plus pauvre = p 0 100% 76,49% 52,98% 34,95% 22,41% 14,09% 8,71% 5,31%
1   23,51% 47,02% 65,05% 63,72% 53,56% 41,26% 30,06%
2         13,87% 32,36% 50,03% 54,42%
3               10,22%
  moyenne 0 0,24 0,47 0,65 0,91 1,18 1,41 1,70


Défenseur le plus pauvreNombre de cartes en défense = m
10 11 12 13 14 15 16 17
Nombre de cartes du plus pauvre = p 0 3,19% 1,88% 1,09% 0,63% 0,35% 0,19% 0,10% 0,05%
1 21,04% 14,29% 9,45% 6,10% 3,84% 2,37% 1,43% 0,84%
2 50,23% 42,01% 32,87% 24,51% 17,59% 12,23% 8,25% 5,42%
3 25,54% 41,83% 48,23% 47,05% 41,38% 33,87% 26,28% 19,54%
4     8,35% 21,72% 36,83% 44,07% 44,56% 40,50%
5           7,27% 19,38% 33,65%
  moyenne 1,98 2,24 2,53 2,83 3,11 3,41 3,72 4,01


Exemples :

Si le preneur a 8 atouts, le défenseur qui en a le moins en possède 3 ou 4 dans 41,38%+36,83% = 78,21% des cas.Si le preneur possède 10 atouts, dans 48,23%+32,87% = 81,11% des cas le défenseur le plus pauvre en atout en possède 2 ou 3.La première ligne verte des tableaux (p=0) donne la probabilité pour qu'un roi se fasse couper.En additionnant les valeurs correspondant à p=0 et p=1, on obtient la probabilité de coupe ou singlette, c'est-à-dire la probabilité pour que le mariage ne survive pas dans son ensemble. Inversement, la probabilité de survie du mariage s'obtient en additionnant tous les autres pourcentages de la colonne (pour p≥2).Les chances de survie de l'ensemble {R,D,C} se lisent directement pour m=9,10,11 dans la ligne p=3.

Tenue stricte

Définition : une tenue stricte est constituée par un minimum de cinq cartes, ou quatre plus l'excuse, dans une couleur du preneur, parmi lesquelles doivent se trouver au moins deux cartes de l'ensemble {R,D,C,V,10}.

Les chances d'existence d'une tenue (au moins, car il peut en exister deux) en défense dépendent du nombre de cartes détenues par le preneur dans la couleur (1 à 9 dans le tableau) et du nombre de cartes de l'ensemble {R,D,C,V,10} qu'il possède (0 à 3 dans le tableau).

TENUE
STRICTE
Nombre de cartes détenues par le preneur dans la couleur
1
ou Exc
2
ou 1 + Exc
3
ou 2 + Exc
4
ou 3 + Exc
5
ou 4 + Exc
6
ou 5 + Exc
7
ou 6 + Exc
8
ou 7 + Exc
9
ou 8 + Exc
Nombre de cartes du preneur parmi {R,D,C,V,10} 0 92,28% 87,00% 78,75% 67,02% 52,18% 36,04% 21,35% 10,33% 3,80%
1 81,25% 74,75% 66,51% 56,40% 44,65% 32,07% 20,09% 10,33% 3,80%
2   53,63% 47,25% 39,98% 32,06% 23,86% 15,95% 9,02% 3,80%
3     21,14% 18,30% 15,13% 11,76% 8,37% 5,22% 2,60%


Si le preneur ne possède aucune carte de la couleur, ni l'excuse, la probabilité de tenue est de 95,46%. Si le preneur possède plus de 10 cartes de la couleur, ou s'il possède 4 ou 5 cartes de l'ensemble {R,D,C,V,10}, aucune tenue n'est possible. Enfin si le preneur possède 10 cartes de la couleur (ou 9 + Exc), la probabilité de tenue est de 0,81% s'il détient entre 0 et 3 cartes parmi {R,D,C,V,10}.

Exemples :

Si le preneur possède {R,8,6,5,3} ou {D,9,7,2,1} sans l'excuse, la probabilité de tenue est de 44,65%.Si le preneur possède {R,8,6,5,3} et l'excuse, la probabilité de tenue est de 32,07%.Avec {R,9,6,5,4,2} sans l'excuse, la tenue existe dans 32,07% des cas.Avec {R,9,6,5,4,2} et l'excuse, la tenue existe dans 20,09% des cas.Si le preneur possède {R,C,8,7,1} sans l'excuse, la tenue existe dans 32,06% des cas.Si le preneur possède {R,C,8,7,1} et l'excuse, la tenue existe dans 23,86% des cas.

Petite tenue

Définition : une petite tenue est constituée par un minimum de cinq cartes, ou quatre plus l'excuse, dans une couleur du preneur, parmi lesquelles doit se trouver au moins une carte de l'ensemble {R,D,C,V,10}.

Les chances d'existence d'une petite tenue (au moins, car il peut en exister deux) en défense dépendent du nombre de cartes détenues par le preneur dans la couleur (1 à 9 dans le tableau) et du nombre de cartes de l'ensemble {R,D,C,V,10} qu'il possède (0 à 4 dans le tableau).

PETITE
TENUE
Nombre de cartes détenues par le preneur dans la couleur
1
ou Exc
2
ou 1 + Exc
3
ou 2 + Exc
4
ou 3 + Exc
5
ou 4 + Exc
6
ou 5 + Exc
7
ou 6 + Exc
8
ou 7 + Exc
9
ou 8 + Exc
Nombre de cartes du preneur parmi {R,D,C,V,10} 0 99,38% 98,58% 90,44% 75,45% 56,34% 37,17% 21,35% 10,33% 3,80%
1 98,24% 96,32% 88,11% 73,76% 55,51% 36,95% 21,35% 10,33% 3,80%
2   91,49% 82,83% 69,42% 52,80% 35,73% 21,04% 10,33% 3,80%
3     71,94% 59,82% 45,88% 31,77% 19,34% 9,89% 3,80%
4       40,27% 30,76% 21,76% 13,86% 7,56% 3,20%


Si le preneur possède plus de 10 cartes de la couleur, ou s'il possède 5 cartes de l'ensemble {R,D,C,V,10}, aucune petite tenue n'est possible. Si le preneur possède 10 cartes de la couleur (ou 9 + Exc), la probabilité de petite tenue est de 0,81% s'il détient entre 0 et 4 cartes de {R,D,C,V,10}.

Exemples :

Si le preneur possède {R,8,6,5,3} ou {D,9,7,2,1} sans l'excuse, la probabilité de petite tenue est de 55,51%.Si le preneur possède {R,8,6,5,3} et l'excuse, la probabilité de petite tenue est de 36,95%.Avec {R,9,6,5,4,2} sans l'excuse, la petite tenue existe dans 36,95% des cas.Avec {R,9,6,5,4,2} et l'excuse, la petite tenue existe dans 21,35% des cas.Si le preneur possède {R,C,8,7,1} sans l'excuse, la petite tenue existe dans 52,80% des cas.Si le preneur possède {R,C,8,7,1} et l'excuse, la petite tenue existe dans 35,73% des cas.

Survie du Roi

Les chances de survie d'un roi joué en tête par le preneur dépendent de la longueur de ce roi.

Survie du RoiSurvie du roiRoi coupé
Roi sec 99,37 % 0,63 %
Roi second 98,91 % 1,09 %
Roi troisième 98,12 % 1,88 %
Roi quatrième 96,81 % 3,19 %
Roi cinquième 94,69 % 5,31 %
Roi sixième 91,29 % 8,71 %
Roi septième 85,91 % 14,09 %
Roi huitième 77,59 % 22,41 %
Roi neuvième 65,05 % 34,95 %
Roi dixième 47,02 % 52,98 %
Roi onzième 23,51 % 76,49 %


C'est le défenseur le plus pauvre dans la couleur qui est susceptible de couper le premier. Ces probabilités sont donc également présentées dans le tableau concernant le nombre de cartes du défenseur le plus pauvre.

Les chiffres donnés dans la dernière colonne correspondent à la probabilité que l'un des trois défenseurs au moins possède une coupe dans la couleur.Un roi 7e ou 8e n'est pas très en danger et doit généralement être joué bille en tête.Un roi 8e se fait couper une fois sur 4,5.Un roi 7e se fait couper une fois sur 7 (c'est facile à retenir...).Un roi sixième se fait couper une fois sur 11,5.Un roi cinquième se fait couper une fois sur 19.Un roi quatrième se fait couper une fois sur 31.

Survie de la Dame après le Roi

Les chances d'une Dame jouée après le Roi par le preneur dépendent de la longueur du preneur dans la couleur.

Dame après le RoiSurvie de la Dame après le RoiDame coupée alors que le Roi est passé
Mariage second 90,45 % 9,55 %
Mariage troisième 85,44 % 14,56 %
Mariage quatrième 78,26 % 21,74 %
Mariage cinquième 68,26 % 31,74 %
Mariage sixième 54,80 % 45,20 %
Mariage septième 37,66 % 62,34 %
Mariage huitième 17,87 % 82,13 %


Les chiffres donnés dans la dernière colonne correspondent à la probabilité que l'un des trois défenseurs au moins possède une singlette si aucun ne possède de coupe.

Le preneur doit tenir compte des cartes à l'écart s'il a raccourci sa longue.La probabilité de passer la dame du mariage 5e lorsque le roi et passé est de 68,26%.La probabilité de passer la dame du mariage 6e lorsque le roi et passé est de 54,80%.Une dame 7e est parfois mise à l'écart si elle ne peut pas être faite en longueur car ses chances de survie sont faibles, même si le roi a survécu.Les cartes fournies par les défenseurs sur le roi donnent souvent une indication à l'attaquant sur les chances de survie de sa dame.

Survie de l'ensemble {Roi, Dame, Cavalier}

Les chances de survie de {R,D,C} joué en tête par le preneur dépendent de la longueur de la couleur dans la main du preneur.

{R,D,C}Survie de {R,D,C}Roi ou Dame ou Cavalier coupé
{R,D,C} troisième 41,83 % 58,17 %
{R,D,C} quatrième 25,54 % 74,46 %
{R,D,C} cinquième 10,22 % 89,78 %


Les chiffres donnés dans la dernière colonne correspondent à la probabilité que l'un des trois défenseurs au moins possède soit une coupe, soit une singlette, soit un doubleton dans la couleur envisagée.La troisième pièce de la couleur aura davantage de chances de survivre si certains défenseurs n'ont plus d'atouts, car même un {R,D,C} troisième survit moins d'une fois sur deux s'il est joué bille en tête.

Chasse du Petit par les atouts maîtres

Les tableaux de chasse suivants précisent les chances de succès de la chasse du petit par le preneur en jouant ses atouts maîtres en tête, puis en continuant à jouer ses atout en décroissant, jusqu'au dernier. Les chances de capturer le petit dépendent du nombre d'atout du preneur (noté A) et du nombre d'atouts maîtres qu'il possède (noté M). La troisième colonne du tableau donne A+3M, dont la valeur est critique pour le succès de la chasse, conformément à la règle suivante.

Règle n°1 : Si le nombre d'atouts du preneur plus 3 fois le nombre d'atouts maîtres qu'il possède est supérieur ou égal à 21, alors il peut chasser par le haut quelle que soit la hauteur des ses autres atouts (sauf dans le cas de 6 atouts dont 5 maîtres).

Chasse du petit
A
Nombre
d'atouts

M
Nombre d'atouts
maîtres

A + 3×M
Petit pris par les atouts maîtres eux-mêmes
Petit pris lors d'une chasse par le haut avec entame défense
Petit pris lors d'une chasse par le haut avec entame preneur
Main d'atouts du preneur
21,20,19,18,17,2
6
5
21
42,59%
42,59%
49,86%
21,20,19,18,17,16
6
6
24
67,78%
42,59%
67,78%
21,20,19,18,17,3,2
7
5
22
50,96%
64,48%
64,48%
21,20,19,18,5,4,3,2
8
4
20
32,87%
39,78%
39,78%
21,20,19,18,17,4,3,2
8
5
23
59,58%
76,80%
88,03%
21,20,19,18,6,5,4,3,2
9
4
21
40,97%
60,99%
69,90%
21,20,19,8,7,6,5,4,3,2
10
3
19
22,64%
28,09%
32,18%
21,20,19,18,7,6,5,4,3,2
10
4
22
49,85%
84,56%
84,56%
21,20,19,9,8,7,6,5,4,3,2
11
3
20
29,70%
49,37%
49,37%
21,20,19,18,8,7,6,5,4,3,2
11
4
23
59,20%
94,38%
95,10%
21,20,19,10,9,8,7,6,5,4,3,2
12
3
21
38,03%
71,74%
72,02%
21,20,19,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
13
3
22
47,52%
88,19%
88,19%
21,20,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
14
2
20
22,71%
45,61%
45,61%
21,20,19,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
14
3
23
57,88%
97,15%
97,15%
21,20,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
15
2
21
30,50%
71,74%
71,74%
21,20,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2
16
2
22
40,17%
91,09%
91,09%


Le cas où le preneur possède les gros atouts qui suivent le premier atout maître qui lui manque permet d'assouplir la règle n°1. Le succès de la chasse dépend presque exclusivement de la situation de cet atout manquant au preneur. Le prochain tableau montre que la règle suivante peut être utilisée.

Règle n°2 : Si le nombre d'atouts du preneur plus 3 fois le nombre d'atouts maîtres qu'il possède est égal à 20, alors il peut encore chasser par le haut s'il possède les gros atouts qui suivent le premier atout maître qui lui manque.

Chasse du petit
A
Nombre
d'atouts

M
Nombre d'atouts
maîtres

A + 3×M
Petit pris par les atouts maîtres eux-mêmes
Petit pris lors d'une chasse par le haut avec entame défense
Petit pris lors d'une chasse par le haut avec entame preneur
Main d'atouts du preneur
21,20,19,18,16,15,14,13
8
4
20
32,87%
64,03%
74,35%
21,20,19,17,16,15,14,13,12,11
10
3
19
22,64%
68,73%
68,96%
21,20,19,17,16,15,14,13,12,11,10
11
3
20
29,70%
78,07%
78,07%
21,20,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7
14
2
20
22,71%
74,36%
74,36%


Le cas de 10 atouts dont trois maîtres est important et critique. Le tableau précédent montre qu'avec le 18 manquant, mais la présence de 17,16,15,14 la chasse par le haut demeure envisageable (plus de 2 chances sur 3 de succès), bien que A+3M=19 dans ce cas. Le coup en dessous est néanmoins souvent plus judicieux.

Les valeurs des tableaux sont calculées en considérant que le preneur doit couper pour reprendre la main pour continuer à chasser après avoir joué un atout pas maître, d'où une différence entre les cas où il entame et ceux où la défense entame (il doit alors couper une fois de plus). Les probabilités données sont calculées a priori (avant le premier tour de cartes), avec une excuse en défense. On ne tient pas compte de la possibilité que le petit s'échappe sur une couleur du preneur. On a négligé également la possibilité que le preneur ne reprenne pas la main (cas de surcoupe).

Dès le premier tour d'atout les chances de succès de la chasse peuvent évoluer selon la fourniture des défenseurs. Si un défenseur ne fournit plus d'atout sur les premiers atouts maîtres, les chances diminuent brutalement. À l'inverse, si les trois défenseurs fournissent régulièrement, les chances de capturer le petit augmentent.



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Reproduit avec l'aimable autorisation de la Fédération Française de Tarot.




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